수직인 두 직선의 기울기의 곱이 -1이라는 증명

[출처] 직선이 수직일때 기울기의 곱 -1 증명|작성자 축복

 

직선이 수직일때 기울기의 곱이 -1 증명과정 (일차함수에서)

'피타고라스정리'를 이용하여

수직인 두 직선을 y = ax , y = bx 라 하고서. 각각의 직선 위의 한점과 원점을 잡으면 삼각형이 나온다.

각 변의 길이를 구하면(피타고라스 정리 이용)

ab = -1 이 나온다. (두 직선의 기울기가 a 와 b 이므로, 두 직선의 기울기의 곱은 -1이 된다)

 

(다른 방법)

tan를 이용하여

tan 는 직선의 기울기(y변화량/x변화량)을 의미한다.

수직인 두 직선을 y = ax , y = bx 라 하면. a = tan세타, b= tan(ㅠ/2 + 세타) = -cot세타

따라서, 두 직선의 기울기의 곱인 ab = tan세타 x (-cot세타) = -1 이 된다.

 

(다른 방법)

벡터를 이용하여

기울기가 a인 직선의 벡터 OA를 (1, a)

수직인 직선의 벡터 OB를 (1, b)라 하면.

벡터의 내적에서 OA·OB = 0 (왜냐하면 수직) 즉, OA·OB = 1 + ab = 0

따라서, 두 직선의 기울기의 곱인 ab = -1

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